数据结构-并查集

发表于 更新于 分类于
本文字数： 5.8k 阅读时长 ≈ 5 分钟

本文转载自网络

正文

江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。这样一来，江湖上就形成了一个一个的帮派，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个帮派的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？

我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物。这样，每个圈子就可以这样命名“中国同胞队”美国同胞队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。

但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长。要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？”这样，想打一架得先问个几十年，饿都饿死了，受不了。这样一来，队长面子上也挂不住了，不仅效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否是一个帮派的，至于他们是如何通过朋友关系相关联的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，都不重要了。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。

下面我们来看并查集的实现。 int pre[1000]; 这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号（依据题意而定），pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人了，查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁？不认识！要想知道自己的掌门是谁，只能一级级查上去。

unionsearch这个函数就是找掌门用的，意义再清楚不过了

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
int unionsearch(int root) //查找根结点
{
	int son, tmp;
	son = root;
	while(root != pre[root]) //我的上级不是掌门
		root = pre[root];//我就找他的上级，直到掌门出现
	while(son != root) //路径压缩算法，看不懂没关系，后面再说
	{
		tmp = pre[son];
		pre[son] = root;
		son = tmp;
	}
	return root; //掌门驾到~~
}

再来看看join函数，就是在两个点之间连一条线，这样一来，原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办，画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的，一共只有一个pre[]数组，该如何实现呢？ 还是举江湖的例子，假设现在武林中的形势如图所示。虚竹帅锅与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物，他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太，那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架，就对他俩说：“你们两位拉拉勾，做好朋友吧。”他们看在我的面子上，同意了。这一同意可非同小可，整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化，可如何实现呀，要改动多少地方？其实非常简单，我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先的所有人员的终极boss都是师太，那还打个球啊！

反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我抗议！”于是，两人相约一战，杀的是天昏地暗，风云为之变色啊，但是啊，这场战争终究会有胜负，胜者为王。弱者就被吞并了。反正谁加入谁效果是一样的，门派就由两个变成一个了。这段函数的意思明白了吧？

1
2
3
4
5
6
7
8
void join(int root1, int root2) //虚竹和周芷若做朋友
{
	int x, y;
	x = unionsearch(root1);//我老大是玄慈
	y = unionsearch(root2);//我老大是灭绝
	if(x != y) 
		pre[x] = y; //打一仗，谁赢就当对方老大
}

再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的，谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么样，我也无法预知，一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门，一共就两级结构，只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到，也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。

设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能干一场。 于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？” 上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。” 一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀，原来是自己人，有礼有礼，在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等，两位大侠请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。 “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其实偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起结拜在曹公公手下吧，省得级别太低，以后查找掌门麻烦。” “唔，有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码，看得懂很好，看不懂可以自己模拟一下，很简单的一个递归而已。总之它所实现的功能就是这么个意思。

于是，问题圆满解决

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int pre[1010]; //里面全是掌门

int unionsearch(int root) //查找根结点
{
	int son, tmp;
	son = root;
	while(root != pre[root]) 
		root = pre[root];
	while(son != root) 
	{
		tmp = pre[son];
		pre[son] = root;
		son = tmp;
	}
	return root; //掌门驾到~~
}

int main()
{
	int num, road, total, i, start, end, root1, root2;
	while(scanf("%d%d", &num, &road) && num)
	{
		total = num - 1; //共num-1个门派
		for(i = 1; i <= num; ++i) //每条路都是掌门
			pre[i] = i;
		while(road--)
		{
			scanf("%d%d", &start, &end); //他俩要结拜
			root1 = unionsearch(start);
			root2 = unionsearch(end);
			if(root1 != root2) //掌门不同？踢馆！~
			{
				pre[root1] = root2;
				total--; //门派少一个，敌人（要建的路）就少一个
			}
		}
		printf("%d\n", total);//天下局势：还剩几个门派
	}
	return 0;
}

基于JAVA语言

《算法》（第四版）union-find算法的实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
public class UF 
{

    private int[] parent;  // parent[i] = parent of i
    private byte[] rank;   // rank[i] = rank of subtree rooted at i (never more than 31)
    private int count;     // number of components

    /**
     * Initializes an empty union-find data structure with
     * {@code n} elements {@code 0} through {@code n-1}.
     * Initially, each elements is in its own set.
     */
    public UF(int n) 
    {
        if (n < 0) throw new IllegalArgumentException();
        count = n;
        parent = new int[n];
        rank = new byte[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) 
        {
            parent[i] = i;
            rank[i] = 0;
        }
    }

    //Returns the canonical element of the set containing element {@code p}.
    public int find(int p) 
    {
        validate(p);
        while (p != parent[p])
        {
            parent[p] = parent[parent[p]];    // path compression by halving
            p = parent[p];
        }
        return p;
    }

    //Returns the number of sets.
    public int count() 
    {
        return count;
    }
  
    //Returns true if the two elements are in the same set.
    @Deprecated
    public boolean connected(int p, int q) 
    {
        return find(p) == find(q);
    }
  
    /**
     * Merges the set containing element {@code p} with the 
     * the set containing element {@code q}.
     */
    public void union(int p, int q) 
    {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP == rootQ) return;

        // make root of smaller rank point to root of larger rank
        if      (rank[rootP] < rank[rootQ]) parent[rootP] = rootQ;
        else if (rank[rootP] > rank[rootQ]) parent[rootQ] = rootP;
        else 
        {
            parent[rootQ] = rootP;
            rank[rootP]++;
        }
        count--;
    }

    // validate that p is a valid index
    private void validate(int p) 
    {
        int n = parent.length;
        if (p < 0 || p >= n) 
        {
            throw new IllegalArgumentException("index " + p + " is not between 0 and " + (n-1));  
        }
    }

    /**
     * Reads an integer {@code n} and a sequence of pairs of integers
     * (between {@code 0} and {@code n-1}) from standard input, where each integer
     * in the pair represents some element;
     * if the elements are in different sets, merge the two sets
     * and print the pair to standard output.
     */
    public static void main(String[] args) 
    {
        int n = StdIn.readInt();
        UF uf = new UF(n);
        while (!StdIn.isEmpty()) 
        {
            int p = StdIn.readInt();
            int q = StdIn.readInt();
            if (uf.find(p) == uf.find(q)) continue;
            uf.union(p, q);
            StdOut.println(p + " " + q);
        }
        StdOut.println(uf.count() + " components");
    }
}

测试

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*  % java UF < tinyUF.txt
*  4 3
*  3 8
*  6 5
*  9 4
*  2 1
*  5 0
*  7 2
*  6 1
*  2 components