数学-齐肯多夫定理

发表于 2020-12-01 更新于 2020-12-02 分类于学习

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任何正整数都可以表示为若干个不连续的斐波那契数（不包括第一个斐波那契数）之和，这种和式称为齐肯多夫表述法

以$F(n)$来表示第$n$个斐波那契数，$m$为任意正整数

当$m = 1,2,3$时，由$F(2)=1,F(3)=2,F(4)=3$，则命题成立，下面采用数学归纳法证明定理对任何$m$均成立

1.若$m$是斐波那契数，则$m$命题对成立

2.若$m$不是斐波那契数，设$n_1$是满足$F(n_1)<m<F(n_1+1)$的最大正整数

设$m_c=m-F(n_1)$，则$m_c=m-F(n_1)<F(n_1+1)-F(n_1)=F(n_1-1)$，即$m_c<F(n_1-1)$

由归纳假设，$m_c$可以表示为不连续的斐波那契数之和，即$m_c=F(n_2)+F(n_3)+…+F(n_t)$

其中$n_2>n_3>…>n_t$且是不连续整数

又$m_c<F(n_1-1)$，所以$n_2<n_1-1$，即$n_2$与$n_1$也是不连续的整数

故$m=F(n_1)+m_c=F(n_1)+F(n_2)+F(n_3)+…+F(n_t)$且$n_1>n_2>n_3>…>n_t$是不连续的整数

因此命题对$m$也成立

综上，由数学归纳法，齐肯多夫定理对任何正整数$m$都成立