数学-贝蒂定理

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贝蒂定理（Betti theorem），以意大利数学家恩里科·贝蒂命名

定理内容

若两个正无理数a,b满足

那么对于两个集合A，B

有以下结论

证明

I. 任一个整数至多在集合A或B中出现一次

由且a,b为正可得a,b均大于1，所以[na],[nb]跨度大于1，故向下取整不会有重复元素

II. A∩B为空集

反证法：设存在整数k使得

则有

即

同理

两式相加

显然，推出结论与m,n为整数矛盾，证毕

III. N+ = A∪B

相当于已知

求证

同样采取反证法，设整数k满足

必然存在整数m,n使得

化简得

由a为无理数

同理

两式相加

易知m+n与m+n+2间只能有一个整数，结论与假设矛盾，所以不存在k，证毕